令和7年度 群馬県公立高校入試 数学 第1問 解説
第1問は小問集合です。計算・展開・文字式・角度・関数・反例・資料の読み取り・作図・確率がまとまって出ます。
ここでは「答え」だけでなく、どこを見れば一瞬で判断できるかを図つきで確認します。
(1) 計算
①
3 × (−4) = −12
②
(2a + 5b) − (−a + b)
= 2a + 5b + a − b
= 3a + 4b
= 2a + 5b + a − b
= 3a + 4b
③
√18 − √2 = 3√2 − √2 = 2√2
符号ミスを防ぐポイントは、②の「前のマイナス」です。かっこの中の符号が全部反対になります。
答え：① −12 ② 3a + 4b ③ 2√2
(2) 展開
(x − 3y)2
= x2 − 2 × x × 3y + (3y)2
= x2 − 6xy + 9y2
= x2 − 2 × x × 3y + (3y)2
= x2 − 6xy + 9y2
公式は (A − B)2 = A2 − 2AB + B2 です。
真ん中の項は「2倍」がつくので、そこだけ注意します。
答え：x2 − 6xy + 9y2
(3) 文字式
ボールペンは1本 a 円で5本なので、合計は 5a 円。
修正テープは1個 b 円で3個なので、合計は 3b 円。
修正テープは1個 b 円で3個なので、合計は 3b 円。
5a + 3b = 2000
「ちょうど2000円」は、合計金額が2000円に等しいという意味です。
答え：5a + 3b = 2000
(4) 四角形の角度
図の105°、50°、95°は外側の角です。まず内角に直します。
左下：180° − 105° = 75°
左上：180° − 50° = 130°
右上：180° − 95° = 85°
左上：180° − 50° = 130°
右上：180° − 95° = 85°
四角形の内角の和は360°だから、
75° + 130° + 85° + x = 360°
290° + x = 360°
x = 70°
75° + 130° + 85° + x = 360°
290° + x = 360°
x = 70°
答え：70°
(5) 二次関数のグラフ
まず、y = −x2 はマイナスなので下向きです。
下向きの候補は「ウ」と「エ」。
次に、y = −x2 は y = −1/2x2 より細いグラフになります。
係数の絶対値が大きいほど、放物線は細くなります。
|−1| > |−1/2| なので、y = −x2 は下向きで細い方です。
|−1| > |−1/2| なので、y = −x2 は下向きで細い方です。
答え：ウ
(6) 反例
【ことがら】
三角形ABCにおいて、∠A = 60°ならば、この三角形ABCは正三角形である。
三角形ABCにおいて、∠A = 60°ならば、この三角形ABCは正三角形である。
反例とは、「∠A = 60°なのに、正三角形ではない」例を1つ作ることです。
例：∠B = 50°、∠C = 70°
このとき、60° + 50° + 70° = 180° なので三角形として成り立ちます。
しかし3つの角がすべて60°ではないので、正三角形ではありません。
しかし3つの角がすべて60°ではないので、正三角形ではありません。
答えの例：∠B = 50°、∠C = 70°
(7) 累積相対度数
| 学習時間 | 累積相対度数 | その階級の相対度数 |
|---|---|---|
| 0〜30 | 0.08 | 0.08 |
| 30〜60 | 0.23 | 0.15 |
| 60〜90 | 0.56 | 0.33 |
| 90〜120 | 0.74 | 0.18 |
| 120〜150 | 0.92 | 0.18 |
| 150〜180 | 1.00 | 0.08 |
その階級の相対度数は、となり合う累積相対度数の差で求めます。
ア ○
60分未満は0.23。2割を超えている。
60分未満は0.23。2割を超えている。
イ ×
90分以上は1.00 − 0.56 = 0.44。半数を超えない。
90分以上は1.00 − 0.56 = 0.44。半数を超えない。
ウ ×
150〜180分の階級にも生徒がいる。
150〜180分の階級にも生徒がいる。
エ ○
最も多い階級は0.33の60〜90分。
最も多い階級は0.33の60〜90分。
答え：ア、エ
(8) 3点A・B・Cから等距離の点
A、B、Cからの距離が等しい点は、三角形ABCの外心です。
外心は、辺AB・BCなどの垂直二等分線の交点になります。
この星型は正五角形からできているので、A・B・Cは同じ円周上にあり、その中心が求める点です。
実際に作図するなら、ABの垂直二等分線とBCの垂直二等分線を引きます。
交点は中央の「カ」の部分に入ります。
答え：カ
(9) 確率
Aの袋：2、3、5、6、8
Bの袋：1、4、7、9
Bの袋：1、4、7、9
全部の場合の数は、Aから5通り、Bから4通りなので、5 × 4 = 20 通りです。
| Aのカード | Bに勝てるカード | 勝つ数 |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 1 |
| 5 | 1, 4 | 2 |
| 6 | 1, 4 | 2 |
| 8 | 1, 4, 7 | 3 |
Aが勝つ場合の数は、1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 9
よって、確率は 9 / 20
よって、確率は 9 / 20
答え：9/20
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