令和7年度 群馬県公立高校入試数学
【第2問・図形と文字式】を
世界一わかりやすく動かせる図で解説！

このページでは、第2問で問われた文字式を使った図形の考え方を、動かせる図を使って解説していきます。

出典：群馬県公立高等学校入学者選抜 学力検査問題（数学）より。解説のため、問題画像を引用して掲載しています。

この問題は、図が少し複雑に見えますが、見るべきところは1つだけです。

四隅にある正方形Aの1辺を決めると、中央の正方形Bの1辺も自動的に決まります。つまり、AとBは別々に自由に決められるわけではありません。

以下では、まずAとBの長さの範囲を考え、そのあと「花を植える部分の面積が区画全体の半分」になる条件を式で求めます。

図形の関係を整理する

全体は1辺12mの正方形です。四隅の正方形Aはすべて合同なので、Aの1辺を同じ長さと考えます。

ここで、正方形Aの1辺を x m とします。

・左側にAが1つ、右側にAが1つあるので、中央に残る横の長さは 12 – 2x

・上側にAが1つ、下側にAが1つあるので、中央に残る縦の長さも 12 – 2x

したがって、中央の正方形Bの1辺は 12 – 2x m になります。

(1) それぞれの1辺の長さの範囲

まず、Aの1辺は0mより大きくなければなりません。また、Aが大きくなりすぎると中央のBがなくなってしまいます。

Bの1辺は B = 12 – 2x なので、Bが正方形として存在するには、

よって、正方形Aの1辺は 0mより大きく、6mより小さい です。

一方、Bの1辺は、Aがほぼ0mならほぼ12m、Aがほぼ6mならほぼ0mになります。したがって、Bの1辺は 0mより大きく、12mより小さい です。

(2) 花を植える部分の面積が半分になる条件

花を植える部分は、四隅の正方形Aが4個と、中央の正方形Bが1個です。

方針ア：正方形Aの1辺をx mとする場合

方針アを選び、正方形Aの1辺を x m とします。このとき、正方形Bの1辺は 12 – 2x m です。

・正方形A 4個の面積：4x²

・正方形B 1個の面積：(12 – 2x)²

全体の正方形の面積は 12 × 12 = 144 です。その半分は 72 なので、次の方程式を立てます。

これを解くと、

したがって、方針アで求める正方形Aの1辺は 3m です。このとき、正方形Bの1辺は 12 – 2×3 = 6m になります。

方針イ：中央の正方形Bの1辺をx mとする場合

次に、方針イで解きます。中央の正方形Bの1辺を x m とします。

全体の1辺は12mで、中央にBがあるので、左右に残る長さの合計は 12 – x m です。左右には同じ大きさの正方形Aがあるため、正方形Aの1辺は、

・正方形A 4個の面積：4(6 – x/2)²

・正方形B 1個の面積：x²

花を植える部分の面積が72m²になればよいので、

これを解くと、

したがって、方針イで求める正方形Bの1辺は 6m です。このとき、正方形Aの1辺は (12 – 6) ÷ 2 = 3m になります。方針アで解いても、方針イで解いても、同じ花壇の形を表しています。

まとめ